벡터 대수

이번 포스팅에서는 벡터에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 벡터는 위키피디아에서 다음과 같이 정의하고 있습니다 :

벡터(vector)는 크기만으로 나타낼 수 있는 스칼라(scalar)와 달리 방향과 크기를 사용하여 나타낼 수 있다. 일상 적으로 사용하는 벡터는 유향선분(방향이 있는 선분)을 사용하여 표현할 수 있다.

 

벡터 는 현대적인 비디오 게임들의 공통 요소라 할 수 있는 컴퓨터 그래픽과 충돌 검출, 물리 시뮬레이션에서 핵심적인 역할을 하고 있으며, 이번 포스팅에서는 벡터와 벡터의 응용 방법 등을 알아보겠습니다.

 

 

 

벡터

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서론에서 위키를 벡터에 대한 정의를 간략하게 인용하였습니다. 여기서 다시 한 번 정의해보고자 합니다.

벡터(vector, 방향량) 는 크기와 방향을 모두 가진 수량(quantity)을 가리키는 말이다. 크기(magnitude)와 방향(direction)을 모두 가진 수량을 좀 더 공식적으로 벡터값 수량(vector-valued quantity) 이라고 부른다.

 

벡터의 용도

 벡터값 수량의 예로는 힘(force : 힘은 특정한 방향과 세기로 가해지는데, 세기(strength)가 곧 크기이다.), 변위(displacement : 한 입자의 최종적인 이동 방향 및 거리), 속도(빠르기와 방향) 가 있습니다. 또한, 3차원 게임에서 플레이어가 바라보는 방향이나 다각형이 향한 방향, 광선이 이동하는 방향, 한 표면에서 광선이 반사되는 방향 등 순수 방향만 나타날 때에도 벡터를 사용하기도 합니다.

 

벡터의 상등(equal)

 벡터를 기하학적으로 나타내었을 때, 방향이 있는 선분(지향선분,directed line segment)으로 표시할 수 있으며, 선분의 길이는 벡터의 크기를, 선분 끝의 화살표는 벡터의 방향을 뜻합니다. 이 때 벡터의 위치는 죽요하지 않으므로, 만약 길이가 같고 같은 방향을 가리키면 두 벡터는 같습니다.

 

 

벡터와 좌표계

 컴퓨터는 벡터를 기하학적으로 다룰 수 없으므로, 3차원 좌표계를 도입하고 모든 벡터의 꼬리를 좌표계의 원점과 일치하도록 이동하는 방식으로 벡터를 수치적으로 지정할 수 있습니다.

그림1. 원점을 기준으로 표시된 벡터

 

원점으로 일치하면 하나의 3차원 벡터 v = (x,y,z) 로 표기할 수 있으며 컴퓨터 프로그램 안에서 부동소수점 값 3개로 표현할 수 있습니다(2차원 벡터일 때는 v = (x,y) 로 표기할 수 있습니다).

 

 

기준계(frame of reference)

 기준계(frame of reference) 는 공간(space), 좌표계(coordinate system) 과 같으며, 벡터를 표현하기 위한 공간입니다. 기준계에 따라서 같은 벡터의 좌표가 달라질 수 있습니다(그림2).

그림2. 같은 벡터 v의 기준계에 따른 좌표 차이

 

 

왼손잡이 좌표계 vs 오른손잡이 좌표계

 Direct3D는 왼손잡이 좌표계(left-handed coordinate system)를 사용합니다. 왼손잡이 좌표계와 오른손잡이 좌표계의 차이는 다음과 같습니다.

그림3. 왼손잡이 좌표계(왼쪽)와 오른손잡이 좌표계(오른쪽)

 

 

기본적인 벡터 연산들

 벡터의 좌표 표현을 이용해서 벡터의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈을 정의해 보겠습니다. 이 때 두 벡터 u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz) 로 정의하겠습니다.

• 상등 : 두 벡터가 대응되는 좌표성분이 같을 때 상등입니다. 즉, ux =vx, uy = vy, uz = vz일 때만 u = v 입니다.
• 덧셈 : 벡터의 덧셈은 벡터의 성분별로 이루어집니다. 즉 u + v = (ux + vx, uy + vy, uz + vz) 입니다. 또한, 벡터간의 덧셈은 같은 차원의 벡터만 가능합니다.
• 곱셈 : 벡터에 스칼라(scalar, 크기만을 나타내는 수. 예로 실수가 있다)를 곱할 수 있으며, 결과는 벡터입니다. k가 스칼라일 때, ku = (k * ux, k * uy, k * uz) 이며, 이를 스칼라 곱셈이라고 부릅니다.
• 뺼셈 : 벡터의 뺄셈은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해서 정의됩니다. u - v = u + (-1 * v) = (ux - vx, uy -vy, uz - vz) 입니다.

 

벡터의 모든 성분이 0일 때, 영 벡터(zero-vector) 라고 부릅니다. 영 벡터를 표기할 때, 0으로 표기합니다.

벡터의 연산을 그려보았을 때 연산의 기하학적 의미를 파악할 수 있습니다.

벡터의 덧셈은 두 벡터를 이었을 때 도착 지점을 시작 지점에서 이은 새로운 벡터와 같습니다.

벡터의 뺄셈은 왼쪽 피연산자(lhs)의 끝 지점을 오른쪽 피연산자(rhs)의 끝 지점에서 이은 벡터를 시작 지점을 왼쪽 피연산자 벡터의 시작 지점으로 옮긴 벡터와 같습니다.

벡터의 스칼라곱에서 음의 곱은 벡터의 방향을 뒤집는 것과 같습니다.

 

 

 

길이와 단위벡터

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벡터의 길이

 한 벡터의 길이는 해당 지향 선분의 길이와 같습니다. 벡터의 길이를 나타내는 표기법은 '||' 입니다. 벡터 u가 있을 때 u의 크기는 ||u|| 로 표기합니다. 벡터 u = (x,y,z)일 때 u의 길이는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

벡터의 길이 ||u|| = sqrt(x² + y² + z²)

 

 

단위벡터

 벡터가 순전히 방향만을 나타내는 용도 로 사용되는 경우 벡터의 길이가 중요하지 않으며, 벡터의 길이를 단위 길이인 1 로 맞추면 편리합니다. 이렇게 벡터의 크기가 1인 경우, 단위벡터(unit vector) 라고 하며, 임의의 벡터를 단위 벡터로 만드는 것을 정규화(normalization) 라고 합니다. 정규화를 만드는 방법은 벡터의 각 성분에 벡터의 길이로 나누는 것입니다.

벡터의 정규화 공식
u / ||u|| = (ux / ||u||, uy / ||u||, uz / ||u||)

 

 

 

내적

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그림4. 벡터 A,B의 내적

도트곱(dot product)라고도 부르며, 내적(inner product) 은 스칼라값을 결과값으로 하는 벡터 곱셈 입니다. 결과값이 스칼라라는 데서 스칼라 곱(scalar product) 이라고도 합니다. 두 벡터 u = (ux, uy, uz), v = (vx, vy, vz) 에 대해, 내적은 다음과 같이 정의합니다.

벡터의 내적
　u · v = ux * vx + uy * vy + uz * vz

 

즉, 위 내적의 식은 벡터의 대응 성분간의 곱들의 합 으로 요약할 수 있습니다. 하지만 이 정의만으로는 내적의 기하학적 의미가 불분명한데, 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같은 관계를 찾아낼 수 있습니다.

벡터의 내적
　u · v = ||u|| ||v|| cosΘ ( 0 ≦ Θ ≦ π )

 

위 식에서 두 벡터의 내적은 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 두 벡터의 크기에 곱한 것을 의미합니다. 여기서 두 벡터 모두 단위 벡터일 때, u와 v에 대한 내적 은 두 벡터 사이의 코사인 각입니다.

 

 

내적의 기하학적 속성

 코사인의 속성 때문에 내적에 대해 다음의 기하학적 속성을 이끌어낼 수 있습니다.

1. 만일 u · v = 0 이면, u⊥v이다. (두 벡터는 직교이다.)
2. 만일 u · v > 0 이면, 두 벡터 사이의 각도 Θ는 90도보다 작다 (두 벡터의 사이각이 예각이다).
3. 만일 u · v < 0 이면, 두 벡터 사이의 각도 Θ는 90도보다 크다 (두 벡터의 사이각은 둔각이다).

 

 

직교투영(orthographic projection)

 두 벡터 v, n이 존재할 떄, n이 단위벡터이면 v · n은 벡터 n에 대한 v의 직교투영 을 의미합니다. 이 때 이 내적에 벡터 n을 곱한 벡터를 p라 할 때, p는 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

직교투영 p = proj_n(v)
만약 n이 단위벡터가 아니라면, n을 정규화한 후 직교투영을 수행할 수 있습니다. 이 때 p는 다음과 같이 표기할 수 있습니다 :
　p = proj_n(v) = (v · n / ||n||) * n / ||n|| = (v · n) * n // ||n||²

그림5. 단위벡터에 대한 내적

 

 

직교화

 벡터 집합 {v0, ... v_n-1}의 모든 벡터가 단위 벡터이고 서로 직교 일 때, 이 벡터 집합을 정규직교(orthonormal) 집합이라고 부릅니다. 주어진 벡터 집합이 정규직교에 가깝지만 완전한 정규직교가 아닐 때 정규직교 벡터 집합으로 만드는 것을 직교화(orthogonalization) 라고 합니다.

 

3차원 컴퓨터 그래픽에서 정규직교 집합으로 시작한 벡터 집합이 부동소수점의 수치 정밀도 문제로 점차 정규직교가 아니게 되는 경우가 생기는데, 이 문제에 대해 2차원 및 3차원을 다룹니다.

 

 

2차원 직교화

 2차원의 경우 벡터 집합 {v0, v1} 을 직교화해서 정규 직교 집합 {w0, w1} 을 얻는 과정을 살펴보겠습니다. 아래의 절차를 통해, 직교 벡터 집합이 만들어지며, {w0, w1} 을 정규화하면 정규직교 집합이 완성됩니다.

2차원 벡터 집합의 직교화
1. w0 = v0으로 설정합니다.
2. v1을 w0에 직교한 w1을 만들기 위해 v1의 성분에서 w0 방향으로 작용하는 성분을 뺍니다.
　w1 = v1 - proj_w0(v1)

 

 

3차원 직교화

 3차원도 2차원과 같은 원칙이며, 수행 단계가 더 많을 뿐입니다. 아래 절차를 거쳐 만든 직교 벡터 집합 {w0, w1, w2} 을 정규화하면 정규 직교 집합이 됩니다.

3차원 벡터 집합의 직교화
1. w0 = v0으로 설정합니다.
2. v1을 w0에 직교화합니다. w1 = v1 - proj_w0(v1)
3. v2를 w0과 w1에 직교화합니다. w2 = v2 - proj_w0(v2) - proj_w1(v2)

 

 

직교 일반화

 2차원, 3차원 직교화를 확장하여, n개의 벡터 집합 {v0, v1, ... , v_n-1} 을 정규 직교 집합 {w0, ... , w_n-1} 으로 직교화한다면 그람-슈미트 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization) 라고 하는 공정을 적용할 수 있습니다.

기본 단계 : w0 = v0으로 설정합니다.
1 <= i <= n-1에 대해 wi = vi - Σ _{j = 0 ~ i-1} proj_wj(v_i) 로 설정합니다.
정규화 단계 : wi = wi / ||wi||로 설정합니다.

위 공정을 설명하자면, 벡터 집합에서 vi를 선택하고, 이 벡터에 대해 이미 직교 벡터 집합에 들어있는 다른 벡터(w0, ... , wi-1)들의 방향 부분을 뺴서 직교가 되게 만든 다음, 모든 벡터에 대해 직교화가 끝나면 직교 집합의 모든 벡터를 정규화 합니다.

 

 

 

외적

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벡터 a,b의 외적

벡터의 또다른 곱셉 방법으로 가위곱(cross product) 또는 외적(outer product) 이 있습니다. 내적의 경우, 결과값이 스칼라였지만 외적의 경우 결과값이 벡터입니다. 또한, 외적은 오직 3차원 벡터에 대해서만 정의됩니다(즉, 2차원 벡터에서는 외적이 존재하지 않습니다).

 

두 3차원 벡터 u, v에 외적을 취하면 u와 v 모두에 직교인 다른 벡터 w가 나옵니다. 즉, w는 u와도, v와도 직교입니다. u = (ux, uy, uz) 이고, v = (vx, vy, vz) 일 때 u와 v의 외적은 다음과 같이 정의됩니다 :

　w = u × v = (uy * vz - uz * vy, uz * vx - ux * vz, ux * vy - uy * vx)

 

흔히 외적의 결과는 왼손 좌표계는 왼손 법칙으로, 오른손 좌표계는 오른손 법칙으로 구할 수 있습니다. 외적은 교환 법칙이 성립하지 않으므로 u × v ≠ v × u 입니다.

 

 

2차원 유사 외적

 2차원에서는 특별한 경우를 제외하고 두 벡터에 대해 수직인 벡터가 존재하지 않습니다. 하지만 하나의 2차원 벡터 u = (ux, uy) 에 수직인 벡터 v는 구할 수 있으며, 이 벡터가 유용하게 쓰이는 경우가 있습니다. 이것을 2차원 유사외적(pseudo 2D cross product) 이라고 합니다.

u의 x, y 성분을 기울기로 생각했을 때, x와 y의 자리를 바꾼 후, x와 y 성분 중 1개에 음수를 곱하면 됩니다. 결과적으로 v = (-uy, ux) 또는 (uy, -ux) 가 됩니다.

 

 

외적을 이용한 직교화

 그람-슈미트 직교화 공정 이외에도 3차원 비완전 정규직교인 벡터 집합 {v0, v1, v2} 에 대해서 직교화하는 다른 공정이 존재합니다. 아래는 그 공정을 표현한 것입니다.

w0 = v0 / || v0 || 으로 설정합니다.
w2 = w0 × v1 / || w0 × v1 || 로 설정합니다.
w1 = w2 × w0 으로 설정합니다. 여기서 || w2 || = || w0 || = 1 이므로, 이 단계는 정규화가 필요하지 않습니다.

주의 : w0에서 직교화를 시작하면 w1 및 w2에 대해서 벡터 방향이 바뀔 수도 있습니다. 직교화 시에 방향이 바뀌지 않는 것이 바람직하므로, 예시와 다르게 v2를 먼저 시작으로, v0과 v1을 수정하여 벡터들을 직교화 하는 것이 바람직합니다.

 

 

 

점

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지금까지의 벡터는 위치(position)을 서술하지 않았습니다. 하지만 3차원 그래픽 프로그램에서는 공간 안의 어떤 위치를 지정할 수 있어야 합니다. 이 떄 특정 좌표계를 기준으로 표준 위치에 있는 벡터(원점에서 시작하는 벡터)를 3차원 공간 안의 한 위치를 나타내는 데 사용할 수 있습니다. 이 때 이 벡터를 위치벡터 라고 부릅니다. 위치벡터에서 중요한 것은 방향이나 크기가 아닌, 벡터의 머리 끝 좌표 입니다. 어떤 의미에서 위치벡터와 점은 같은 의미입니다.

 

 

단점

점을 벡터로 표현할 때, 점에는 의미없는 벡터 연산을 점에 수행할 수 있는 여지가 생긴다 는 것입니다. 가령, 두 점의 합은 기하학적으로 성립하지 않습니다(물론 특별하게 정의할 수 있습니다, ex) 아핀결합(affine combination)).

하지만, 성립하는 벡터 연산 역시 존재합니다. 예를 들어 벡터의 뺄셈은 점 p, q에 대해 수행(p - q)되었을 떄 p에서 q로 가는 벡터로 정의할 수 있습니다(또는 벡터 v = p - q일 때, p에서 v만큼 가면 점 q라고도 할 수 있습니다).

 

 

 

레퍼런스

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정보 출처
한빛미디어 - DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문
위키피디아 - 벡터
나무위키 - 벡터

그림 출처
그림1 출처 - http://localhouse.egloos.com/v/3584363
그림3 출처 - https://www.slideshare.net/QooJuice/ss-80130068
그림4 출처 - https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
그림5 출처 - https://justicehui.github.io/other-algorithm/2018/06/23/OBB/
그림6 출처 - https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product