2의 보수(two's complement)

이번 포스팅에서는 2의 보수에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 보수란, '보충하는 수', '수를 거꾸로 세는 방식' 등을 의미합니다. 일반적으로 N진법에 대해서 N의 보수와 N-1의 보수가 존재하며 다음과 같습니다 :

• N의 보수 : 자릿수를 한 자리 늘리기 위해서 필요한 보수.
  • 10진수 33의 10의 보수 : 100 - 33 = 67
• N-1의 보수 : 같은 자릿수에서 가장 큰 값이 되기 위해 필요한 보수.
  • 10진수 33의 9의 보수 : 99 - 33 = 66

 

N진법에 대한 N의 보수 및 N-1의 보수는 아래에서 2진법에 대한 2의 보수 및 1의 보수로 연결되니 이해하시면 좋습니다.

 

 

 

컴퓨터의 음수 표현

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우리가 음수를 표현할 때에는 - 부호를 선택함으로써 음수를 표기할 수 있습니다. 하지만, 0과 1로 구성된 컴퓨터에서 메모리에 음수를 표현하기 위해 -를 사용할 수 없기 때문에, 컴퓨터는 다른 방식으로 음수를 표현해야 합니다.

 

부호-크기 표현(Signed-magnitude representation)

이 방법은 2진수로 표현된 숫자의 가장 큰 자릿수 비트(MSB, most significant bit)를 부호를 표기하는데 사용합니다. 비트 하나를 부호의 표현에 사용하므로 부호를 사용하지 않는 수에 비해서 절반의 크기만큼만을 표현할 수 있습니다.

 

부호-크기 표현은 알아보기도 쉽고, 생성하기도 어렵지 않습니다. 하지만, 산술 연산이 단순하지 않은 문제가 있습니다. 이 단순한 방식에서 만약 2 - 2를 컴퓨터에서 수행하게 된다면, 0010(2) - 0010(2) = 0010(2) + 1010(-2)를 수행하게 되고, 1100(2) = -4라는 엉뚱한 답이 나옵니다(이를 해결하기 위해서 회로를 추가로 구성해야하며 쉬운 일이 아닙니다).

 

마찬가지로 산술 연산 뿐만이 아니라 음수의 비교 연산을 수행할 때도 모순이 발생합니다.

 

 

 

1의 보수(one's complement)

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2진법의 1의 보수는 어떤 수를 커다란 2의 거듭제곱수 - 1에서 빼서 얻은 이진수입니다. 주어진 이진수와 자리수가 같고, 모든 자리가 1인 수에서 주어진 수를 빼서 1의 보수를 얻을 수도 있고, 이진수의 모든 자리 숫자를 반전시켜서 1의 보수를 얻을 수도 있습니다.

 

이 방식은 signed-magnitude방식에 부호와 수를 따로 계산하지 않아도 되고, 음수를 더하는 방식으로 뺼셈을 할 수 있게 됩니다. 가령, 2 - 2에 대해 0010(2) + 1101(-2) = 1111(0)과 같이 단순 덧셈만으로 값이 올바르게 산출됩니다. 하지만 여전히 양수 0과 음수 0 두 가지 방식으로 표현할 수 있는 문제가 있습니다. 이것을 해결하기 위해서는 음수 0에 대해 LSB(least significant bit)에 1을 더해주는 회로를 구성하여 양수 0으로 표현해야 합니다.

 

또한 캐리(carry)가 발생하면 LSB에 1을 더해줘야 합니다. 예를 들어 -2 + -3 = 1101 + 1100 = 1(carry 발생) 1001 + 0001(캐리 발생으로 인한 lsb에 1 추가) = 1010 = -5가 됩니다.

 

 

 

2의 보수

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위키피디아에서는 2의 보수를 다음과 같이 설명하고 있습니다 :

2의 보수(two's complement) 란 어떤 수를 커다란 2의 제곱수에서 뻬서 얻은 이진수이다. 2의 보수는 대부분의 산술연산에서 원래 숫자의 음수처럼 취급된다. 주어진 이진수보다 한 자리 높고 가장 높은 자리가 1이며 나머지가 0인 수에서 주어진 수를 빼서 얻은 수가 2의 보수이다. 혹은 주어진 이진수의 모든 자리의 숫자를 반전(0을 1로, 1을 0으로)시킨 뒤, 여기에 1을 더하면 2의 보수를 얻을 수 있다.

 

2진법의 2의 보수는 1의 보수에서도 해결하지 못했던 0의 두 가지 표현을 해결한 방법입니다. 인용한 위키피디아의 설명에서 처럼 음수로 표현할 경우 비트 반전 이후, LSB에 1을 더하는 것으로 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 가령 2 - 2 연산에 대해 0010(2) + 1110(-2) = 0000(0) 으로 완벽히 수행되고 있음을 확인할 수 있습니다.

 

또한 캐리가 발생했을 때 LSB에 1을 더해주지 않아도 결과가 정확합니다. 예를 들어, -2 + -3 = 1110(2) + 1101(2) = 1(carry 발생) 1011 = -5가 됩니다.

 

2의 보수 방식의 장점을 요약하면 다음과 같습니다 :

• MSB가 0이면 양수, 1이면 음수임을 확신할 수 있음.
• 음수를 더하는 방식으로 뺼셈 수행 가능
• 음수의 비교연산에서 발생하는 모순 해결
• 0이 단 한 가지 방식으로 표현 가능
• 덧셈 및 뺄셈에서 캐리의 발생시 캐리를 처리하는 회로를 구성할 필요가 없음.

 

이러한 장점 때문에 오늘날의 컴퓨터의 대부분의 2의 보수 표현을 채택합니다.

 

 

 

레퍼런스

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정보통신기술용어해설 - 보수 체계
제타우키 - 보수(complement)
appspot - 컴퓨터의 음수 표현
잉여인간의 블로그 - 보수 표현
위키피디아 - 1의 보수
crocus - 2의 보수, 보수를 이용한 값 구하기
dj.pe.kr - r의보수, r-1의 보수